四边形ABCD中,向量AD=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,若a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形是什么图形,且证

题目

四边形ABCD中,向量AD=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,若a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形是什么图形,且证

答案

由已知得：(a-c)*b=0
所以（a-c）与b垂直或者a=c
显然a不等于c
得（a-c）垂直于b
同理（a-c）垂直于d
则b平行与d,且a平行与c
所以ABCD是平行四边形
所以角ABC+角BCD为180
a*b*（180-角ABC）=b*c*(180-角BCD)
所以角ABC=角BCD=90
即为矩形