求园c上的一点p 让P到直线的距离最短,c方程x^2+y^2-6x-1=0 直线方程:x-3y+17=0 求P

题目

求园c上的一点p 让P到直线的距离最短,c方程x^2+y^2-6x-1=0 直线方程:x-3y+17=0 求P

答案

把直线平移,当平移后的直线和圆相切时,切点到直线的距离最短
设平移后的直线方程是 x-3y+a=0 (平移不改变斜率)
把直线方程代入圆,消去x,得
10y^2 - 6(a+3)y + (a^2 + 6a -1) = 0
要使直线和圆相切,则上面方程有两个相等的根
所以
36(a+3)^2 - 4*10*(a^2+6a-1) = 0
解得 a = -13 或者 a = 7
直线方程是x-3y-13=0 或者 x-3y+7=0
上面两条直线中,离直线x-3y+17=0更近的是x-3y+7=0
所以a = 7
代入,解得 y = 3 ,x = 2
所以P点坐标是(2,3)