有一列数1,2,4,7,11,16,22问前1000个数的和是多少?

题目

有一列数1,2,4,7,11,16,22问前1000个数的和是多少?

答案

根据题目可知,每两个数间的差值分别为1,2,3,4………
可得,相邻两数之差 Dn=n
递推公式 An=A(n-1)+D(n-1)即
An=A(n-1)+(n-1)
同理 A(n-1)=A(n-2)+(n-2)
A(n-2)=A(n-3)+(n-3)
………………
A3=A2+2
A2=A1+1
得 An=A1+1+2+……+（n-1）=n(n+1)/2
及通项为An=1/2（n + n^2) (^符合表示平方)
所以 Sn=A1+A2+A3+……+An
=1/2（1+2+……+ n +1^2+2^2+……+n^2）
=1/2[n(n+1)/2 + n(n+1)(2n+1)/6 ]
(最后一步应用了公式 1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 )
将 n=1000代入 ,可得 Sn=167167000