设n维向量a1 a2线性无关a3 a4线性无关若a1 a2都分别与a3 a4正交 证明a1 a2,a3,a4线性无关

题目

设n维向量a1 a2线性无关a3 a4线性无关若a1 a2都分别与a3 a4正交 证明a1 a2,a3,a4线性无关

答案

已知n维向量组A:a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,且a1,a2分别与b1,b2正交,证明a1,a2,b1,b2线性无关
设x1a1+x2a2+y1b1+y2b2=0,证明x1=x2=y1=y2=0即可.
x1a1+x2a2=-y1b1-y2b2
因为a1,a2分别与b1,b2正交,
所以x1a1+x2a2与b1,b2都正交,
从而x1a1+x2a2与-y1b1-y2b2也正交,
所以x1a1+x2a2=-y1b1-y2b2=0 (前提:实向量)
因为a1,a2线性无关,所以由x1a1+x2a2=0得x1=x2=0.
因为b1,b2线性无关,所以由-y1b1-y2b2=0得y1=y2=0
所以,a1,a2,b1,b2线性无关