抛物线y^2=2px(p>0)焦点为F 直线l与抛物线交于AB两点 │AF│+│BF│=8AB垂直平分线恒过定点S(6,0)

题目

抛物线y^2=2px(p>0)焦点为F 直线l与抛物线交于AB两点 │AF│+│BF│=8AB垂直平分线恒过定点S(6,0)
求三角形ABS的面积

答案

设A（x1,y）B（x2,y2）,AB中点M（x,y）
∵│AF│+│BF│=8 │AF│=x1+p/2,│BF│=x2+p/2
∴∵│AF│+│BF│=8=x1+x2+p
∴x=（8-p）/2
又∵A、B在抛物线上
∴y1²=2px1
y2²=2px2
相减可得
（y1+y2）/2p=（x1-x2）/（y1-y2）=kAB（AB的斜率）
y/p=kAB
∵8AB垂直平分线恒过定点S(6,0)
设AB垂直平分线为y=k（x-6）
∴kAB × k=-1
∴k=-p/y
则y=-p/y（x-6） ①
y²=2px ②
把最先开始求得的x=（8-p）/2代入①②
解得p=4
∴M（2,4）
∴S△ABS=AB×MS/2
=16√2