a,b,c为正整数且根号3*b+c分之根号3*a+b为有理数证明a+b+c分之a2+b2+c2为整数

题目

a,b,c为正整数且根号3*b+c分之根号3*a+b为有理数证明a+b+c分之a2+b2+c2为整数

答案

根号3*b+c 是 根号(3)*b+c 还是 根号(3*b+c)?
下面当 根号(3)*b+c 做.
设
根号3*b+c分之根号3*a+b = p/q,p,q 为正整数
则 根号3*aq+bq = 根号3*bp+cp
于是 aq=bp,bq = cp,==> a/b = p/q=b/c,===> ac = b^2
==> a+b+c分之a2+b2+c2
= (a^2+ac+c^2)/(a+根（ac）+c)
= ((a^2+2ac+c^2)-ac) /(a+根（ac）+c)
=((a+c)^2-(根(ac))^2 /(a+根（ac）+c)
=(a+根（ac）+c)(a-根（ac）+c)/(a+根（ac）+c)
=(a-根（ac）+c)
=a-b+c 为整数