如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： （1）AP⊥MN； （2）平面MNP∥平面A1BD．

题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：

（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A₁BD．

答案

证明：（1）连接BC₁、B₁C，则B₁C⊥BC₁，BC₁是AP在面BB₁C₁C上的射影．∴AP⊥B₁C．
又B₁C∥MN，∴AP⊥MN．
（2）连接B₁D₁，∵P、N分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，
∴PN∥B₁D₁．又B₁D₁∥BD，
∴PN∥BD．又PN不在平面A₁BD上，
∴PN∥平面A₁BD．
同理，MN∥平面A₁BD．又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A₁BD．