（高数2）无穷小乘有界量时,有界函数可以用等价无穷小替换么

题目

（高数2）无穷小乘有界量时,有界函数可以用等价无穷小替换么
如：
Lim（x,y)→（0,0) （X^2+y^2)sin(1/xy)
中的sin（1/xy)能替换成1/xy
替换与不替换的结果好像不一样,
如果不能,请说明原因.

答案

不能换,等价无穷小替换的前提是变量是趋于某一常数的（一般是趋于0）,例如说sinx和x是等价无穷小是在前提x趋于0下的,这个前提很重要,因为如果x是趋于无穷的,而此时sinx仍是有界的,所以x趋于无穷时,x和sinx就不是等价...