过原点O作圆x^2+y^2-2x-4y+4=0的任意割线,交圆于A,B两点,求线段AB中点M的轨迹

题目

过原点O作圆x^2+y^2-2x-4y+4=0的任意割线,交圆于A,B两点,求线段AB中点M的轨迹

答案

圆的方程：x²+y²-2x-4y+4=0
(x-1)²+(y-2)²=1
圆心（1,2）半径=1
设AB中点为M（x,y）
圆心到M的距离、M到原点的距离、圆心到原点的距离构成直角三角形
根据勾股定理
(x-1)²+(y-2)²+x²+y²=(1-0)²+(2-0)²
2x²+2y²-2x-4y+5=5
x²+y²-x-2y=0
(x-1/2)²+(y-1)²=5/4
参考