求曲线y=e^x上曲率最大的点

题目

求曲线y=e^x上曲率最大的点

答案

把原方程改写成参数方程:
P = (x, e^x, 0)
求第一导数:
P'= (1, e^x, 0)
再求第二导数:
P''= (0, e^x, 0)
根据公式,(公式不用我推导吧)
曲率κ = |P'×P''|/|P'|^3
计算整理,
得 κ = |e^x|/[1+e^(2x)]^(3/2)
到这里求这个函数最大值对应的x, 则曲率最大点就是对应的(x, e^x)
将κ求导并使其得0(步骤省略),
解得e^x = √2/2
所以x = ln(√2/2) = (-ln2)/2
所以所求点是 [(-ln2)/2, √2/2]
注: "×"表示向量叉乘, "√"表示根号 (怎么看怎么觉得像对号.)