样本方差 总体方差

题目

样本方差 总体方差
假定X1,X2,...,Xn为来自总体的重置简单随机样本,总体均值为μ、方差σ^2,Xˉ为样本均值.由于在重置随机抽样中,各个样本单位的抽取完全是等可能的,因此有
E（Xˉ）=E（1/n·∑Xi）
=1/n·∑E（Xi)
=1/n·∑μ
=μ
Var(Xˉ)=Var(1/n·∑Xi)
=1/n^2∑Var(Xi)
=σ^2/n
请问Var(1/n·∑Xi)=1/n^2∑Var(Xi)为什么会相等?

答案

首先有结论：当诸Xi相互独立时,Var(∑Xi)=∑Var(Xi),证明的话用协方差 Var(∑Xi)=Cov（∑Xi,∑Xi）=∑Cov（Xi,Xj）=∑Var(Xi） 然后可得到：Var(1/n·∑Xi) =Cov（1/n·∑Xi,1/n·∑Xi） =1/n^2Cov（∑Xi,∑Xi） =1/...