如图,在△ABC中,∠A,∠B的平分线交于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F. (1)点D是△ABC的_心; (2)求证:四边形DECF为菱形.
题目
如图,在△ABC中,∠A,∠B的平分线交于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.
(1)点D是△ABC的______心;
(2)求证:四边形DECF为菱形.
答案
(1)点D是△ABC的内心.(2分)
(2)证法一:连接CD,(3分)
∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF为平行四边形,(4分)
又∵点D是△ABC的内心,
∴CD平分∠ACB,即∠FCD=∠ECD,(5分)
又∠FDC=∠ECD,
∴∠FCD=∠FDC
∴FC=FD,(6分)
∴▱DECF为菱形.(7分)
证法二:
过D分别作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,DI⊥AC于I.(3分)
∵AD,BD分别平分∠CAB,∠ABC,
∴DI=DG,DG=DH.
∴DH=DI.(4分)
∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF为平行四边形,(5分)
∴S
□DECF=CE•DH=CF•DI,
∴CE=CF.(6分)
∴▱DECF为菱形.(7分)
举一反三
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