如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于(  ) A.1:3 B.2:3 C.3:2 D.3:3

如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于(  ) A.1:3 B.2:3 C.3:2 D.3:3

题目
如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于(  )
A. 1:3
B. 2:3
C.
3
:2
D.
3
:3
答案
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,
∴∠C=∠FDE
同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,
∴△DEF∽△CAB,
∴△DEF与△ABC的面积之比=(
DE
CA
2
又∵△ABC为正三角形,
∴∠B=∠C=∠A=60°,△EFD是等边三角形,
∴EF=DE=DF,
又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴△AEF≌△CDE≌△BFD,
∴BF=AE=CD,AF=BD=EC,
在Rt△DEC中,
DE=DC×sin∠C=
3
2
DC,EC=cos∠C×DC=
1
2
DC,
又∵DC+BD=BC=AC=
3
2
DC,
DE
CA
=
3
DC
3DC
=
3
3

∴△DEF与△ABC的面积之比等于:(
DE
CA
2=
1
3
=1:3.
故选:A.
三角形的面积=
1
2
×高×底,所以相似三角形的面积之比等于边之比的平方,由DE⊥AC,EF⊥AB,FC⊥BC得出△DEF与△ABC的角对应相等,即:△DEF∽△CAB,求出两个三角形的边之比即可,又知△ABC是正三角形,所以∠B=∠C=∠A=60°,利用余弦和正弦定理求出两个三角形的边之比.

相似三角形的判定与性质;三角形的面积;等边三角形的性质.

本题主要考查如何求三角形的面积之比,若能证出两个三角形是相似三角形,此时三角形的面积之比等于对应边之比的平方,只要求出对应边比即可.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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