已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的3倍,C为弧AB的中点.AB、OC相交于P点,求证:四边形OACB是菱形.
题目
已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的
倍,C为弧AB的中点.AB、OC相交于P点,求证:四边形OACB是菱形.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/79f0f736afc3793162293dabe8c4b74542a911ea.jpg)
答案
证明:∵C为
的中点,OC为半径,
∴PA=PB,AB⊥OC,
∵AP=
AB=
AO,
∴OP=
=
=
OA=
OC,
∴PC=
OC,即OP=PC,
∴四边形OACB是平行四边形,
又∵AB⊥OC,
∴四边形OACB是菱形.
由C为弧AB的中点,OC为半径,利用垂径定理的逆定理得到PA=PB,OC垂直于AB,由AP为AB的一半,根据题中条件用AO表示出AP,在直角三角形AOP中,利用勾股定理表示出OP,进而确定出OP=PC,即四边形ACBO对角线互相平分,可得出此四边形为平行四边形,再由对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证.
垂径定理;勾股定理;菱形的判定;圆心角、弧、弦的关系.
此题考查了垂径定理,勾股定理,菱形的判定,以及平行四边形的判定,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
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