已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c f(x)在点x=0处取得极值,并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性.

题目

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c f(x)在点x=0处取得极值,并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性.
1 求实数b的值.
2 求实数a的取值范围.

答案

(1).对原函数求导f'(x)=3x^2+2ax+b,由于在x=0处取到极值,所以f'(0)=0,所以解得b=0.
(2).由图可知,f'(x)=3x^2+2ax在[0,2]小于0,在[4,5]上大于0.
所以当x∈[0,2]时,3x^2+2ax≤0恒成立；当x∈[4,5]时,3x^2+2ax≥0恒成立.然后解得-6≤a≤-3.或是看图,依靠对称轴2≤-2a/3≤4,解得-6≤a≤-3.