如图，已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AB相交于点E． （1）试判断AD是否平分∠BAC？并说明理由． （2）若BD=3BE，CD=3，求⊙O的半径

题目

如图，已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AB相交于点E．
（1）试判断AD是否平分∠BAC？并说明理由．
（2）若BD=3BE，CD=3，求⊙O的半径．

答案

（1）判断：AD平分∠BAC．
证明：
证法一：连接OD；
∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
又△ABC为Rt△，且∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠2；
又∵OA=OD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．
证法二：连接ED；
∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠3+∠AED=90°；
又∵∠C=90°，
∴∠1+∠ADC=90°，
又∵∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠3．

证法三：连接EF，DF；
∵AE是⊙O直径，
∴∠AFE=90°，
又∵∠ACE=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠4=∠5；
又∵∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠3．
（2）
解法一：设BE=x，则BD=3BE=3x，
据切割线定理得BD²=BE×BA，
得AB=9x，OA=OE=4x；
又∵OD∥AC，
∴

OB

OA

＝

BD

CD

，即：

5x

4x

＝

3x

3

，
∴x=

5

4

，
∴⊙O的半径为5．
解法二：
如图，过O作OG⊥AC，又AC⊥BC，OD⊥BC，
则四边形ODCG为矩形．
∴OG=CD=3，OG∥BC；
又OG∥BC，
∴

OG

BC

＝

OA

AB

，
∴

3

3x+3

＝

4x

9x

，
∴x=

5

4

，x=0，（舍去）
∴⊙O的半径为5．
备注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基础上进行的．