怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1?

题目

怎样证明正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1?

答案

设X服从标准正态分布,概率密度为f(x)=1/(√2π)*e^(-x^2/2),x取任意实数
则∫f(x)dx,(积分下上限是负无穷和正无穷）,就是概率密度函数图像与x轴所围成的面积
根据概率密度的性质可得∫f(x)dx=1,(积分下上限是负无穷和正无穷）
∫f(x)dx=∫1/(√2π)*e^(-x^2/2)dx (积分下上限是负无穷和正无穷）
直接积分不好积
假设Y也服从标准正态分布,且X,Y相互独立,则有
∫f(x)dx*∫f(y)dy=∫∫f(x)f(y)dxdy,积分下上限是负无穷和正无穷
用x=√2u,y=√2v,代入上式可得
∫∫f(x)f(y)dxdy=∫∫1/π*e^(-u^2-v^2)dudv=1/π*∫dθ∫re^(-r^2)dr,前面的积分下上限是0和2π,后面的是0和正无穷
∫∫f(x)f(y)dxdy=∫∫1/π*e^(-u^2-v^2)dudv=1/π*∫dθ∫re^(-r^2)dr=1/π*π=1
因为∫f(x)dx=∫f(y)dy
所以可得∫f(x)dx=∫f(y)dy=1
所以
正态分布的概率密度函数与x轴所围成的面积为1
解毕