已知数列an满足a1+3a2+5a3+...+(2n-1)×an=(n-1)×3^n+1求an

题目

已知数列an满足a1+3a2+5a3+...+(2n-1)×an=(n-1)×3^n+1求an

答案

a1+3a2+5a3+...+(2n-1)×an=(n-1)×3^n+1 ①
当x=1时,即a1=1
当n≥2时,
a1+3a2+5a3+...+(2n-3)×a(n-1)=(n-2)×3^(n-1)+1 ②
①-②：
（2n-1)×an=(n-1)3^n -(n-2)3^(n-1)
=3(n-1)3^(n-1)-(n-2)3^(n-1)
=(2n-1)3^(n-1)
∴an=3^(n-1)
上式对n=1也成立
∴an=3^(n-1)