已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式．

题目

已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式．

答案

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
因为f（x）图象过点（0，3），所以c=3
又f（x）对称轴为x=2，
∴−

b

2a

=2即b=-4a
所以f（x）=ax²-4ax+3（a≠0）
设方程ax²-4ax+3=0（a≠0）的两个实根为x₁，x₂，
则x1+x2＝4，x1x2＝

3

a

，x12+x22＝10
∴x12+x22＝(x1+x2)2−2x1x2＝16−

6

a

，
所以16−

6

a

＝10
得a=1，b=-4
所以f（x）=x²-4x+3