在 (x+1)^3+(x+1)^4+(x+1)^5+…+(x+1)^20展开式中含x^3项的系数! 急!

题目

在 (x+1)^3+(x+1)^4+(x+1)^5+…+(x+1)^20展开式中含x^3项的系数! 急!

答案

你好!
一：可以看成公比为（x+1)的等比数列.
Sn=(x+1)^3*[1-(x+1)^18]/[1-(x+1)]
=-(x+1)^3/x+(x+1)^21/x
-(x+1)^3/x含x^3的项为0
(x+1)^21含x^4项的系数C21,17*x^4*1为5985x^4
所以系数为5985
二：因为是x^3的系数,所以次数必然>=3
系数之和=C3,3+C4,1+C5,2+.+C20,17
=C4,0+C4,1+C5,2+.+C20,17
= C21,17
=5985