大学线性代数 设A,B均为n阶方阵.1.A,B满足A+B+AB=0.证明E+A,E+B互为逆阵,

题目

大学线性代数 设A,B均为n阶方阵.1.A,B满足A+B+AB=0.证明E+A,E+B互为逆阵,
大学线性代数
设A,B均为n阶方阵.
1.A,B满足A+B+AB=0.证明E+A,E+B互为逆阵,并且AB=BA
2.若B可逆,且满足A^2+AB+B^2=0.证明：A与A+B都是可逆矩阵

答案

1、A+B+AB=0,A+B+AB+E=E,(E+A)(E+B)=E,所以E+A与E+B可逆且互为逆矩阵.所以(E+B)(E+A)=E,E+A+B+BA=E,A+B+BA=0.将A+B+AB=0与A+B+BA=0联立得AB=BA.
2、A^2+AB+B^2=0,A(A+B)=-B^2.B可逆,所以-B^2也可逆,所以A与A+B都可逆.