已知数列{an}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn=an+1-kan+2（n∈N），数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．如果Tn＞kSn对一切自然数n都

题目

已知数列{a_n}是首项a₁＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b_n}的通项b_n=a_n+1-ka_n+2（n∈N），数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．如果T_n＞kS_n对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．

答案

因为{an}是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故an+1=an•q，an+2=an•q2．所以bn=an+1-kan+2=an（q-k•q2）．Tn=b1+b2+…+bn=（a1+a2+…+an）（q-k•q2）=Sn（q-kq2）．依题意，由Tn＞kSn，得Sn（q-kq2）＞kSn...