已知：正方形ABCD，以AD为边作等边三角形ADE，求∠BEC的度数．（要求画出图形，再求解）

题目

已知：正方形ABCD，以AD为边作等边三角形ADE，求∠BEC的度数．（要求画出图形，再求解）

答案

如图（1）中，当点E在正方形ABCD外时，
在正方形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD，
在等边△ADE中，AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴AB=AE=CD=DE；
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=

1

2

（180°-∠BAE）=

1

2

（180°-90°-60°）=15°；
同理可证∠DCE=∠DEC=15°，
∴在△AED中，
∠BEC=60°-（∠AEB+∠DEC）=60°-30°=30°．
∴∠BEC的度数是30°．
如图（2），当点E在正方形ABCD内时，
同理，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=30°；
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=

1

2

（180°-30°）=75°；
同理∠DCE=∠DEC=

1

2

（180°-30°）=75°；
根据周角的定义，∠BEC=360°-∠BEA-∠AED-∠DEC=360°-75°-60°-75°=150°．