怎么用泰勒公式证明

题目

怎么用泰勒公式证明
对于任意一点,最低阶的非零导数是奇数阶时,不是极值点；最低阶的非零导数是偶数阶时,是极值点,可以通过符号判断是极大值还是极小值.（这里的各阶导数不包括0阶导数即原函数）

答案

用f^(n)(x)表示f在x的n阶导数
设n为其最低阶非零导数次数
f(x)=f(x0)+f^(n)(x0)*(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
由于后面的皮亚诺余项相对主项是无穷小量,当x足够接近x0时 f(x)-f(x0) 的正负性 由f^(n)(x0)*(x-x0)^n的正负决定.当n是奇数时,x>x0 与xx0 与x0 则f^(n)(x0)*(x-x0)^n>0 所以在x0的一个充分小的去心邻域中
f(x)-f(x0)=f^(n)(x0)*(x-x0)^n+o((x-x0)^n)>0 即f(x)>f(x0) 所以x0为其极小值点
同理可证当n为偶数时,若f^(n)(x0)