如图,已知正方形OABC在直角坐标系xOy中,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点O在坐标原点.等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点,E、F分别在OA、OC上,且OA=4,OE=2.将三角板OEF
题目
如图,已知正方形OABC在直角坐标系xOy中,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点O在坐标原点.等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点,E、F分别在OA、OC上,且OA=4,OE=
2.将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE
1F
1的位置,连接CF
1、AE
1.
(1)求证:△OAE
1≌△OCF
1;
(2)若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得OE∥CF?若存在,请求出此时E点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)证明:
∵四边形OABC为正方形,∴OC=OA.
∵三角板OEF是等腰直角三角形,∴OE
1=OF
1.
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE
1F
1的位置时,∠AOE
1=∠COF
1,
∴△OAE
1≌△OCF
1.
(2)存在.
∵OE⊥OF,
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条,并与OF垂直,
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时,
则点F在以O为圆心,以OF为半径的圆上.
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线.
又点C是圆O外一点,过点C与圆O相切的直线有且只有2条,不妨设为CF
1和CF
2,
此时,E点分别在E
1点和E
2点,满足CF
1∥OE
1,CF
2∥OE
2.
当切点F
1在第二象限时,点E
1在第一象限.
在直角三角形CF
1O中,OC=4,OF
1=2,
cos∠COF
1=
=
,
∴∠COF
1=60°,∴∠AOE
1=60°.
∴点E
1的横坐标为:x
E1=2cos60°=1,
点E
1的纵坐标为:y
E1=2sin60°=
,
∴点E
1的坐标为(1,
);
当切点F
2在第一象限时,点E
2在第四象限.
同理可求:点E
2的坐标为(1,-
).
综上所述,三角板OEF绕O点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得OE∥CF,
此时点E的坐标为E
1(1,
)或E
2(1,-
).
(1)根据旋转的性质找到相等的线段,根据SAS定理证明;
(2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必与OF垂直;在旋转过程中,E、F的轨迹是以O为圆心,OE(或OF)长为半径的圆,若CF⊥OF,那么CF必为⊙O的切线,且切点为F;可过C作⊙O的切线,那么这两个切点都符合F点的要求,因此对应的E点也有两个;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可证得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE的长,通过解直角三角形,不难得到E点的坐标,由此得解.
旋转的性质;直角三角形全等的判定;切线的判定;解直角三角形.
本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定以及解直角三角形等重要知识.能够联系圆的相关知识来解答(3)题是此题的一个难点.
举一反三
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