求导：y=(ln x)^x + x^(1/x)

题目

求导：y=(ln x)^x + x^(1/x)

答案

分成两部分,第一部分为(ln x)^x求导
设y1=(ln x)^x
=e^(xln(lnx))
y1'=e^(xln(lnx))*[ln(lnx)+x*(1/lnx)*(1/x)]
=e^(xln(lnx))*[ln(lnx)+1/lnx)
设y2= (x)^(1/x)
取对数 lny2 = (lnx)/x
对x求导：y2'/y2 = [1 - lnx] / x²
∴y2 ' = y [1- lnx] / x²
=x^(1/x)*[1- lnx] / x²
=x^(1/x-2)[1- lnx]
所以y'=e^(xln(lnx))*[ln(lnx)+1/lnx)+x^(1/x-2)[1- lnx]