微分方程特解问题
题目
微分方程特解问题
求一曲线方程.该曲线通过原点,并且它在点(x,y)处的斜率等于2x+y
曲线的切线斜率为dy/dx
dy/dx = 2x+y,就是y'-y=2x
首先考虑特解,显然y=-2x-2是方程的一个特解 请问这个特解是怎么显然看出来的?不需要满足曲线过原点吗?满足的话 特解就不成立啊
答案
这里特征方程为r-1=0,得r=1,即齐次方程y'-y=0的通解为y1=Ce^x
非齐次项(即方程右边)为2x,它与特征根项e^x不同,因此特解形式是同阶次的多项式,可设为y*=ax+b
则y*'=a, 代入原方程:a-ax-b=2x,
对比系数: -a=2, a-b=0
解得a=-1, b=-2, 故特解为y*=-2x-2, 这里是指满足y'-y=2x的特解,但并不是满足初始条件过原点的特解.
原方程的通解为y=y1+y*=Ce^x-2x-2
代入初始条件y(0)=0,得0=C-2,得C=2
所以满足初始条件的解为y=2e^x-2x-2.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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