如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FB×FC．

题目

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD²=FB×FC．

答案

如图：
连接AF，∵EF垂直平分AD，
∴FA=FD．∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△FAC和△FBA中，
∠AFC=∠BFA，
∠ACF=∠B+2∠BAD=∠FDA+∠BAD=∠FAD+∠BAD=∠BAF．
∴△ACF∽△BAF，
∴

CF

AF

=

AF

BF

．
∴AF²=BF•FC．
又∵FA=FD
∴FD²=FB•FC．