已知数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2． （1）求证：{an}是等差数列．（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．

题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n=25n-2n²．
（1）求证：{a_n}是等差数列．（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

答案

（1）证明：①n=1时，a₁=S₁=23．
②n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（25n-2n²）-[25（n-1）-2（n-1）²]=27-4n，而n=1
适合该式．
于是{a_n}为等差数列．
（2）因为a_n=27-4n，若a_n＞0，则n＜

27

4

，所以|an|＝

an                (1≤n≤6) −an             (n≥7)

，
当1≤n≤6时，T_n=a₁+a₂+a_n=25_n-2n²，
当n≥7时，T_n=a₁+a₂++a₆-（a₇+a₈++a_n）
=S₆-（S_n-S₆）=2n²-25n+156，
综上所知

25n−2n2           (1≤n≤6) 2n2−25n+156   (n≥7)

.

（1）由S_n=25n-2n²．求得a_n，若a_n是关于n的一次函数则为等差数列；
（2）把|a_n|先去掉绝对值，再化为{a_n}数列求和

本题考点：等差数列的前n项和．

考点点评：本题主要考查数列的判断方法及数列求和问题．