已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足． 求证： （1）△ABP≌△CBP； （2）AP=EF．

题目

已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
求证：

（1）△ABP≌△CBP；
（2）AP=EF．

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC，
在△ABP和△CBP中，

AB＝CB ∠ABP＝∠CBP BP＝BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS）；
（2）∵△ABP≌△CBP，
∴AP=PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF．

（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB=CB，∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC，然后根据SAS即可判定△ABP≌△CBP；
（2）由（1），可得AP=CP，又由PE⊥DC，PF⊥BC，易证得四边形PECF是矩形，根据矩形的对角线相等，即可得PC=EF，继而证得AP=EF．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．