计算|A|=|第一行a b c d|第二行-b a -d c|第三行-c d a -b|第四行-d -c b a|.

题目

计算|A|=|第一行a b c d|第二行-b a -d c|第三行-c d a -b|第四行-d -c b a|.
由于AAT(A与转置矩阵相乘)=(a^2+b^2+c^2+d^2)E,故有|A|^2=|A||A|T=|AAT|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4,因|A|中,a^4系数是+1,所以|A|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2.请问因|A|中,a^4系数是+1,所以|A|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2这个是怎么来的?a^4在哪里?系数如何得到?

答案

a^4是由每一行取a得到的,而这个取法的逆序数为0,所以符号为+,因此系数是+1,故|A|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2而不是|A|=-(a^2+b^2+c^2+d^2)^2