如图，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（-3，2），连接AB，以AB为边向上作正方形ABCD． （1）当点B与点O重合时，求点C的坐标； （2）设点C的坐标为（x，y），请用含x的

题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（-3，2），连接AB，以AB为边向上作正方形ABCD．

（1）当点B与点O重合时，求点C的坐标；
（2）设点C的坐标为（x，y），请用含x的代数式表示y；
（3）E是点C关于原点的对称点，连接AE，当点B在x轴上运动时，求AE的最小值．

答案

（1）如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵点A（-3，2），
∴OE=3，AE=2，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABE＝∠BCF ∠AEB＝∠BFC＝90° AB＝BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BF=AE，CF=BE，
∵点B与点O重合，
∴OE=BE=3，OF=BF=AE=2，
∴点C的坐标为（2，3）；
（2）由（1）可知，BF=AE=2，CF=BE，
∵点C的坐标为（x，y），
∴BF=x，CF=y，
∴OB=y-3=x-2，
∴y=x+1；
（3）∵E是点C关于原点的对称点，
∴点E的坐标为（-x，-x-1），
∴AE=

(−x+3)2+(−x−1−2)2

=

2x2+18

，
∴当x=0时，AE_最小=

18

=3

2

．

（1）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据点A的坐标可得OE=3，AE=2，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，然后根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCF，再利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，CF=BE，然后求解即可；
（2）根据（1）的结论整理即可得解；
（3）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点E，再利用勾股定理列式表示出AE，然后根据二次函数的最值问题解答即可．

本题考点：正方形的性质；坐标与图形性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．