设随机变量X服从自由度为k的t分布,证明随机变量Y=X^2服从自由度为(1,k)的F的分布

题目

设随机变量X服从自由度为k的t分布,证明随机变量Y=X^2服从自由度为(1,k)的F的分布

答案

因为X~t(k),由定义可令X=A/根号下B/k,其中A~N(0,1),X^2(k)分布
Y=X^2=A^2/(B/k),因为A~N(0,1),所以A^2~X^2(k)
Y=(A^2/1)/(B/K),则由定义可知Y~F(1,k)