什么是临界根轨迹,临界根轨迹增益怎么求.开环传递函数：G(S)=K/[S(S+1)(S+2)]

题目

什么是临界根轨迹,临界根轨迹增益怎么求.开环传递函数：G(S)=K/[S(S+1)(S+2)]

答案

一般在根轨迹里提到的临界,指的是使得闭环系统临界稳定的开环根轨迹增益,即存在共轭纯虚极点的情况.
换句话说,就是根轨迹与虚轴交点处的K*
如果闭环极点在虚轴上,我们不妨令之:s=jw,其中w为一实数
写出系统的闭环特征方程:s^3+3s^2+2s+K=0
因为s是闭环极点,因此一定满足闭环特征方程,代入得:
-j*w^3-3w^2+2jw+K=0
这是一个复数方程,分别令其实部、虚部为零,得到:
2jw-jw^3=0
K-3w^2=0
由上面的式子解得w=0(舍去)或w=±√2 (临界稳定是有纯虚闭环极点,等于零的极点不算)
代入下面的式子,即K=3w^2=6
注意此处的K指的是开环根轨迹增益K*,打字简单、好看把那个星号略掉了