已知a为锐角,且tana=(根号2)-1,函数f(x)=x²tan2a+xsin(2a+π/4),数列an的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).

题目

已知a为锐角,且tana=(根号2)-1,函数f(x)=x²tan2a+xsin(2a+π/4),数列an的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).
求证：1< 1/(1+a1) +1/(1+a2)+ …… +1/(1+an)

答案

因为a为锐角,且tana=(√2)-1
所以tan2a=(2tana)/(1-tan²a)=1
所以sin2a=√2/2,cos2a=√2/2,sin(2a+π/4)=1
所以f(x)=x²+x
因为a(n+1)=f(an)
所以a(n+1)=an²+an=an(1+an)
取倒数,
1/an(1+an)=1/a(n+1)
所以,1/(1+an)=1/a(n)-1/a(n+1)
又 a1=1/2
所以,
1/(1+a1) +1/(1+a2)+ …… +1/(1+an)
=1/a(1)-1/a(2)+1/a(2)-1/a(3)+……+1/a(n)-1/a(n+1)
=1/a(1)-1/a(n+1)
=2-1/a(n+1)
因为,a(n+1)=an²+an
所以,a(n+1)-an＝an²>0
所以,数列{an}为递增数列
又a1＝1/2,a2＝3/4,a3＝21/16>1
所以,n≥2时,a(n+1)>1
即,n≥2时,0