已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1时有极值6． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）若函数f（x）的图象上是的切线与直线3x+y+1=0平行，求该切线方程．

题目

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2在x=1时有极值6．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上是的切线与直线3x+y+1=0平行，求该切线方程．

答案

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2bx+c，
依题意有f（1）=6，f′（1）=0．
可得

1+b+c+2＝6 3+2b+c＝0

可得b=-6，c=9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=3x²-12x+9，
依题意可知，切线的斜率为-3．
令f′（x）=-3，
可得x=2，
即f′（2）=-3．
又f（2）=4，
所以切线过点（2，4）．
从而切线方程为3x+y-10=0．

（Ⅰ）由函数f（x）=x³+bx²+cx+2在x=1时有极值6可得f（1）=6，f′（1）=0，可求得，c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上是的切线与直线3x+y+1=0平行，根据导数的几何意义，求得切点的坐标，从而求得切线方程．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，体现了解方程的思想方法，属基础题．