A是m×n矩阵,证明A^HA和AA^H都是半正定埃尔米特矩阵

题目

A是m×n矩阵,证明A^HA和AA^H都是半正定埃尔米特矩阵

答案

(1) 因为A是m×n矩阵,
所以A^H 是n×m矩阵,A^HA 是n×n矩阵,
而且(A^HA)^H = A^H(A^H)^H = A^HA.
又因为对于任意的n维非零列向量a,有
a^H(A^HA)a = (Aa)^H(Aa) = ||Aa||^2 大于或等于 0,
因此A^HA是半正定埃尔米特矩阵.
(2) 因为A是m×n矩阵,
所以A^H 是n×m矩阵,AA^H 是m×m矩阵,
而且(AA^H)^H = (A^H)^HA^H = AA^H.
又因为对于任意的m维非零列向量b,有
b^H(AA^H)b = (A^Hb)^H(A^Hb) = ||A^Hb||^2 大于或等于 0,
因此AA^H是半正定埃尔米特矩阵.