已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得

题目

已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得
使得使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切实数成立?若存在,求出a b c得值.

答案

y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0)
∴a-b+c=0
∴b=a+c
x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切实数成立
需x≤f(x) 即ax^2+(b-1)x+c≥0恒成立 （*）
即a>0,Δ1=(b-1)^2-4ac≤0 （1）成立
需 f(x)≤(1+x²)/2即 2ax^2+2bx+2c≤1+x²
即（1-2a)x^2-2bx+1-2c≥0恒成立 （#）
当1-2a=0时,（#） 即-2（a+c)x+1-2c≥0
(-1-2c)x≥2c-1恒成立
则c=-1/2
此时,a=1/2,c=-1/2,b=0,（*）也成立符合题意
当1-2a>0时,
（#）需 Δ2=4b^2-4(1-2a)(1-2c)≤0（2）成立
==> (a+c)^2-(4ac-2a-2c+1)≤0
==> (a+c)^2+2(a+c)+1-4ac≤0
==> (b+1)^2-4ac≤0 （3）
(1)+（3）：
2b^2+2-8ac ≤0
(a+c)^2+1-8ac≤0
(a-c)^2+1≤0矛盾
∴符合条件的a b c的值只有
a=1/2,b=0,c=-1/2