已知函数f(x)=x² -2lnx,g(x)=x-2√x.1.求证,当x>0时,f(x)=g(x)+2有唯一解
题目
已知函数f(x)=x² -2lnx,g(x)=x-2√x.1.求证,当x>0时,f(x)=g(x)+2有唯一解
答案
考察函数 f(x)-[g(x)+2]=(x²-x-2+2√x)-2lnx 的取值范围;
上述函数的定义域:(0,+∞);
当 x→+0 时,lim{f(x)-[g(x)+2]}=lim{(x²-x-2+2√x)-2lnx}=lim{-2-2lnx}=+∞;
当 x→+∞ 时,lim{f(x)-[g(x)+2]}=lim{(x²-x-2+2√x)-2lnx}=lim{x²}=+∞;
所以,被考察函数在其定义域内有极小值;
令 {f(x)-[g(x)+2]}'=2x-1+(1/√x)-(2/x)=0 →→ 2x+1/√x=2/x+1,观察可知,x=1 为左方程的一个解;
方程 2x+1/√x=2/x+1 的右端函数(2/x+1)在x>0时是单减函数,而左端函数(2x+1/√x)有极小值3/2^(1/3)(对应x=x0=1/2^(1/3)),因此当x>x0时方程可能有(如有则只有一个)解,也就是说x=1是唯一解;
当0
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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