怎样证明每个大于6的正整数都可以表示成两个大于1的且互质的正整数之和

题目

怎样证明每个大于6的正整数都可以表示成两个大于1的且互质的正整数之和
每个大于6的正整数都可以表示成两个大于1的且互质的正整数之和.如何证明?
希望用模4分析证明.

答案

讨论:
1.n>6且n是奇数,那么可令a=[n/2],b=[n/2]+1([x]是x的整数部分),那么a+b=n且(a,b)=(a,1)=1;
2.n>6且n是偶数,n/2是奇数,可令a=(n/2)-2,b=(n/2)+2,a>1,b>1且都是奇数,a+b=n且(a,b)=(a,4)=1
3.n>6且n是偶数,n/2是偶数,可令a=(n/2)-1,b=(n/2)+1,a>1,b>1且都是奇数,a+b=n且(a,b)=(a,2)=1
综上,不论何种情况任意>6的正整数都可以写为两个>1且互质的正整数a,b之和,得证