设a1,a2,a3.an都是正数,证明不等式(a1+a2+.+an)(1/a1+1/a2+.+1/an)≥n²

题目

设a1,a2,a3.an都是正数,证明不等式(a1+a2+.+an)(1/a1+1/a2+.+1/an)≥n²

答案

用柯西不等式即可证明,
柯西不等式：(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)²
所以有(a1+a2+.+an)(1/a1+1/a2+.+1/an)≥(√1+√1+…+√1)=n²