已知点(-3,0),点P在x轴上,点Q在y轴上,点M在直线PQ上且满足2*向量QM+3*向量MP=0向量,向量PM*向量QM=1

题目

已知点(-3,0),点P在x轴上,点Q在y轴上,点M在直线PQ上且满足2*向量QM+3*向量MP=0向量,向量PM*向量QM=1
（1）求点M的轨迹C的方程
（2）设直线l：y=x+m（m属于R）与曲线C恒有公共点,求m的取值范围

答案

（1）设P（a,0）,Q（0,b）则：HP→•PQ→=（a,3）（a,-b）=a2-3b=0
∴a2=3b
设M（x,y）∵PM→=-32HQ→
∴x=a1-32=-2a,y=-32b1-32=3b∴y=14x2
（2）设A（a,b）,S（x1,14x12）,R（x2,14x22）,（x1≠x2）
则直线SR的方程为：y-14x12=14x22-14x12x2-x1（x-x1）,即4y=（x1+x2）x-x1x2
∵A点在SR上,
∴4b=（x1+x2）a-x1x2①
对y=14x2求导得：y′=12x
∴抛物线上SR处的切线方程为
y-14x12=12x1（x-x1）即4y=2x1x-x12②
y-14x22=12x2（x-x2）即4y=2x2x-x22③
联立②③得{x=x1+x22y=14x1x2
代入①得：ax-2y-2b=0故：B点在直线ax-2y-2b=0上