设A,B,C是三个任意集合,证明：A×(B∪C)=(AB)∪(A×C),A×(B∩ C)=(AB)∩ (A×C)

题目

设A,B,C是三个任意集合,证明：A×(B∪C)=(AB)∪(A×C),A×(B∩ C)=(AB)∩ (A×C)
设A,B,C为任意三个集合，
证明：A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
A×(B∩ C)=(A×B)∩ (A×C)
此题是证明笛卡儿乘积运算对并，差运算分别满足分配律定理

答案

（1）设(x,y)属于A×(B∪C),则x属于A,且y属于B∪C,不妨令y属于B,则(x,y)属于A×B,即有A×(B∪C)属于(A×B)∪(A×C),固A×(B∪C)属于(A×B)∪(A×C).
设(x,y)属于(A×B)∪(A×C),则(x,y)属于A×B或者属于A×C,不妨令(x,y)属于A×B,则x属于A,且y属于B,即(x,y)属于A×(B∪C),固(A×B)∪(A×C)属于A×(B∪C).
综上A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
（2）设(x,y)属于A×(B∩ C),则x属于A,且y属于B也属于C,则(x,y)属于A×B也属于A×C,即有A×(B∩ C)属于(A×B)∩ (A×C),固A×(B∩ C)属于(A×B)∩ (A×C)
设(x,y)属于(A×B)∩ (A×C),则(x,y)属于A×B也属于A×C,则x属于A,且y属于B,也属于C,有y属于B∩ C,即(x,y)属于A×(B∩ C),固(A×B)∩ (A×C)属于A×(B∩ C)
综上A×(B∩ C)=(A×B)∩ (A×C)