设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0,证明A可相似对角化.

题目

设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0,证明A可相似对角化.

答案

设a是A的特征值,则 a^2-3a+2 是 A^2-3A+2E 的特征值而 A^2-3A+2E = 0,零矩阵的特征值是0所以 a^2-3a+2 = 0所以 (a-1)(a-2) = 0所以 A 的特征值是 1 或 2.因为 A^2-3A+2E=0所以 (A-E)(A-2E)=0所以 r(A-E)+r(A-2E)...