三角形ABC中,(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=2b cos C,判断三角形ABC的形状

题目

三角形ABC中,(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=2b cos C,判断三角形ABC的形状

答案

a=2b cos C
根据"正弦定理"得:a/sinA=b/sinB
即:sinA=2sinBcosC
(a+b+c)(b+c-a)=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+c^2-a^2=bc
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
A=60
sinA=sin(180-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
sinBcosC-cosBsinC=0
sin(B-C)=0
所以B=C
所以 A=B=C=60
所以三角形是等边三角形