设m,n属于N*,f(x)=(1+x)m=(1+x)n,若f(x)展开式中x的系数是19,当m,n变化时,求x2系数的最小值.

题目

设m,n属于N*,f(x)=(1+x)m=(1+x)n,若f(x)展开式中x的系数是19,当m,n变化时,求x2系数的最小值.

答案

一次项系数就是m＋n=19,而x²项的系数是(1/2)[m(m－1)＋n(n－1)]=(1/2)[m²－m＋(19－m)(18－m)]=(1/2)[2m²－38m＋342],当且仅当m=19/2时去的最小值,则取m=9时,n=10或m=10时n=9,此时取得最小值81.