设α,β1,β2,β3都是维实向量,并且α与β1,β2,β3都正交.

题目

设α,β1,β2,β3都是维实向量,并且α与β1,β2,β3都正交.
证明:α与β1,β2,β3的任一（实系数）线性组合也正交

答案

α,β 正交即内积等于0
即 (α,β)=α^Tβ=0
由已知,α^Tβ1=α^Tβ2=α^Tβ3=0
所以 α^T(k1β1+k2β2+k3β3)
= k1α^Tβ1+k2α^Tβ2+k3α^Tβ3
= 0+0+0
= 0.