二元函数微分证明题

题目

二元函数微分证明题
设F（x,Y） 在矩形域D内可微,且全微分 恒为零,问F（x,Y） 在该矩形域D内是否应取常数值?证明你的结论.

答案

令Z=F（x,Y）,则由
全微分 恒为零即
dZ=（偏F/偏x）dx +（偏F/偏y）dy≡0.
积分,得
∫dZ=∫（偏F/偏x）dx +∫（偏F/偏y）dy
=0+C,C为常数.
即F（x,Y）=Z=C.
∴F（x,Y） 在该矩形域D内应取常数值