一个非零向量,在一个线性空间的两个基下坐标相同,求这个向量,请问做题思路是什么?

题目

一个非零向量,在一个线性空间的两个基下坐标相同,求这个向量,请问做题思路是什么?

答案

基：（i）（a1,a2,a3,a4）
(ii) (b1,b2,b3,b4)
假设存在,设为（x1,x2,x3,x4）^T
则（a1,a2,a3,a4)（x1,x2,x3,x4）^T=(b1,b2,b3,b4)（x1,x2,x3,x4）^T
而（b1,b2,b3,b4）=（a1,a2,a3,a4）C ,其中C为基（i）到基(ii)的过渡矩阵
那么有
（x1,x2,x3,x4）^T= C（x1,x2,x3,x4）^T
(C-E)(x1,x2,x3,x4)^T=0
由于向量非零,所以det(C-E)=0
如果det(C-E)=0则假设成立,否则假设不成立