已知抛物线C1:y=x² +2x和C2 :y=-x² +a

题目

已知抛物线C1:y=x² +2x和C2 :y=-x² +a
如果直线l同时是C1和C2的切线
称l是C1和C2的公切线
问a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线
写出公切线的方程

答案

设公切线为 y = kx + b
与 C1 C2 切点 分别为 (x1, kx1+b), (x2, kx2 +b)
则切点满足各自的抛物线方程
kx1 + b = x1² +2 x1
kx2 + b = -x2² + a
对C1 C2 方程求导
y1' = 2x + 2
y2' = -2x
切线的斜率为切点处的导数, 所以
k = 2x1 + 2 = -2 x2
一共有
kx1 + b = x1² +2 x1
kx2 + b = -x2² + a
k = 2x1 + 2
k = -2 x2
四个方程, k, x1, x2, b, a 五个未知数
先消去 b
k(x1 - x2) = x1² + x2² + 2x1 -a
再消去x1, x2
k(k-1) = (k/2 -1)² + (k/2)² + k -2 - a
k² - k = k²/2 -1 - a
k²/2 - k + 1 + a = 0
判别式
△ = b² - 4ac = 1 - 4*(1/2)*(1+a)
为使 有且仅有一条公切线 则
1 - 2(1+a) = 0
a = -1/2
k²/2 - k + 1/2 = 0
(k-1)² = 0
k = 1
x1 = (k-2)/2 = -1/2
y1 = x1² + 2 x1 = 1/4 - 1 = -3/4
x2 = -k/2 = -1/2
y2 = -x2² - 1/2 = -1/4 - 1/2 = -3/4
y1 = k*x1 + b
-3/4 = -1/2 + b
b = -1/4
公切线方程: y = x - 1/4
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检验:
对于 C1: y = x² + 2x
(-1/2, -3/4) 在曲线上
在该点处 切线斜率为 k = 2x1 + 2 = 1
(-1/2, -3/4) 在 y = x - 1/4 上
对于 C1: y = -x² -1/2
(-1/2, -3/4) 在曲线上
在该点处 切线斜率为 k = -2 x2 = 1
(-1/2, -3/4) 在 y = x - 1/4 上
画图表明: 在题目要求的条件下, C1 C2 也恰好相切在 (-1/2, -3/4)
所以 可直接联立 C1 C2 方程
y =x² +2x
y = -x² +a
求在二者有且只有一个交点情况下的a值
x² +2x = -x² +a
2x² +2x - a = 0
利用判别式则
a = -1/2
但这个思路不严密, 因为 C1 C2 即使无交点, 也可能存在 唯一的公切线 的情况. 所以 我觉得 严密来讲, 还是要想上面那样 麻烦着 做